20 de agosto de 2009

Regra de Três

Regra de três é o procedimento para resolver um problema que envolva grandezas relacionadas onde determinamos por proporção o valor de uma destas, conhecendo a relação desta proporção com a proporção das demais grandezas.
Este procedimento chama-se regra de três simples quando temos apenas 2 grandezas e do contrário chama-se regra de três composta , ou seja, quando temos mais de 2 grandezas.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.


Passos utilizados numa regra de três simples:


1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.

EXEMPLOS:
1) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma massa de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola?

Vamos representar pela letra x o comprimento pedido. Estamos relacionando dois valores da grandeza massa (10 kg e 15 kg) com dois valores da grandeza comprimento (42 cm e X cm).
Temos então que:


10 kg ........................ 42 cm
15 kg ........................ X cm



Se duplicarmos a massa inicial do corpo, o comprimento da mola também duplicará. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Assim, os números 10 e 15 são diretamente proporcionais aos números 42 e X.
Assim:




Portanto, o comprimento da mola será 63 cm.



2) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 s. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele gastaria para completar o percurso?

Estamos relacionando dois valores de grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.


200 km/h----------- 18 s
240 km/h---------- x s


Se o duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade, logo as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.

Daí temos:




O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.


Regra de três composta

A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

EXEMPLO:

1) Um motociclista percorre em média 200 km em 2 dias, se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 km, se rodar 5 horas por dia?


Desenvolvimento:
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C:
Se dobrarmos o numero de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá pela metade. Logo, as grandezas B e C são inversamente proporcionais.

Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C:
Se dobrarmos o numero de quilômetros percorridos, o numero de dia dobrará, fixando que o motociclista roda o mesmo numero de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são diretamente proporcionais.

Assim, a grandeza C é diretamente proporcional á grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B.


Analisando o resultado obtido, concluímos que o motociclista levará 4 dias para percorrer 500km, se rodar 5 horas por dia.

Exercícios:

1. Em um banco, constatou-se que uma caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que essa caixa vai levar para atender 36 clientes?


2. Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias. Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias?

3. Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

4. Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltadas 180 m da rua. Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?

5. Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

6. Em uma construção de uma casa, 5 operários constroem a casa em 7 dias. Supondo-se que o ritmo de operários sejam sempre igual, se forem 7 operários, em quantos dias eles construirão a casa?

7. Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

8. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

9. Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro?

10. Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidos por 7 operários, trabalhando durante 9 dias?

18 de agosto de 2009

Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais

A variação de uma grandeza pode variar outra grandeza, por exemplo: se observarmos os quilômetros percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto (2º grandeza) por esse carro durante os quilômetros percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir também.
Podemos dizer que grandezas proporcionais são grandezas que a sua variação interfere na variação de outra.
As grandezas proporcionais podem ser:
Grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que: São grandezas diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra. Isto é, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... E assim por diante.

Grandezas inversamente proporcionais, explicando de maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... E assim por diante.

Exemplos:

1) A tabela relaciona as grandezas ”medidas do lado” e “perímetro” de um quadrado. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?



Como podemos ver, enquanto a grandeza “medida do lado de um quadrado” aumenta ao outra grandeza “perímetro de um quadrado” também aumenta. Logo esta é uma grandeza diretamente proporcional.

2) A tabela relaciona as grandezas “quantidade de operários” e “tempo” para a construção de duas obras iguais, A e B. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?
Como estamos vendo, enquanto a grandeza “quantidade de operários” aumenta, a grandeza “tempo” diminui. Logo esta é uma grandeza inversamente proporcional.

3) A velocidade constante de um carro e o tempo que esse carro gasta para dar uma volta completa em uma pista estão indicados na tabela a seguir: De acordo com a tabela, essas duas grandezas, “velocidade” e “tempo”, são direta ou inversamente proporcionais?
Observando a tabela, percebemos que se trata de uma grandeza inversamente proporcional, pois, a medida que uma grandeza aumenta a outra diminui.


Exercícios:

1) Mariana tem 60 sementes de flores para plantar em alguns vasos. Cada vaso deve receber o mesmo número de sementes.a) complete a tabela:


b) as grandezas são de que tipo, direta ou inversamente proporcionais? Por quê

2) Cinqüenta coelhos são alimentados durante quatro dias com certa quantidade de ração.
a) Se o número de coelhos for reduzido à metade, a quantidade de ração consumida deve aumentar ou diminuir?
b) O número de coelhos e a quantidade de ração consumida são grandezas inversamente proporcionais? Por quê?

3) Com um saco de ração alimento 12 galinhas durante 8 dias. Se aumentar o número de galinhas para 16, quantos dias vai durar um saco dessa ração?

4) Joaquim e Manuel trabalharam juntos em uma construção. Joaquim trabalhou durante 3 dias e Manuel durante 2 dias. O serviço todo rendeu para os dois juntos R$ 200,00.
a) Qual dos dois tem direito a ganhar mais? Por quê?
b) Se a divisão for justa, quanto deve ganhar cada um?
c) Escreva a razão entre os dias em que cada um trabalhou.
d) Escreva a razão entre a quantia que Joaquim recebeu e a que Manuel recebeu.
e) Essas razões formam uma proporção? Por quê?

5) Jaime e Juarez fizeram uma parceria para jogar na loteria. Jaime entrou com R$1,20 e Marcelo com R$1,80. Sabe o que aconteceu? Eles ganharam um prêmio de R$ 1500,00!
a) Qual dos dois deve receber a maior parte do prêmio? Por quê?
b) Calcule a parte justa que cada um deve receber desse prêmio.

1 de agosto de 2009

Razões e Proporções

Plano de Aula
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Conteúdo: Razões e Proporções

Objetivos: Definir proporção, conhecer aplicações e resolver exercícios

Metodologia: Resolução de Problemas

Desenvolvimento da atividade:

1. Apresentar o título do assunto a ser estudado
2. Dialogar com a classe fazendo questões do tipo:
- Quem sabe cozinhar?
- Quem gosta de comer doces?
- Qual é o seu doce preferido?
- Alguém lembra de uma receita para ditar para os colegas?
(caso ninguém saiba, entregar a receita do anexo 1)
- Qual é a relação desta receita com a Matemática?

3. Formar duplas e apresentar o problema (anexo 2) Caso seja utilizada a receita de algum aluno, haverá necessidade de adaptação do problema
4. Após a resolução, convidar algum aluno para transcrever no quadro
5. Discutir o resultado obtido
6. Buscar sugestões para modificar o enunciado e verificar com o grupo o que seria alterado na resposta
7. Discutir e formular o conceito de proporção.
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ANEXO 1
PUDIM DE CHOCOLATE


INGREDIENTES:
¨ 1 COLHER SOPA DE MANTEIGA
¨ 4 GEMAS
¨ 6 COLHERES DE SOPA DE CHOCOLATE
¨ 1 LATA DE LEITE CONDENSADO (400 g)
¨ 1 COPO DE LEITE (300ml)

PREPARO:

¨ BATER LIGEIRAMENTE NO LIQUIDIFICADOR TODOS OS INGREDIENTES
¨ COZINHAR EM BANHO-MARIA NA FORMA CARAMELADA POR 50 MIN
¨ LEVAR AO REFRIGERADOR
¨ DESENFORMAR NA HORA DE SERVIR

OBSERVAÇÃO: RECEITA PARA 12 PORÇÕES.
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ANEXO 2

PROBLEMA

Estamos programando um churrasco para domingo, cuja sobremesa será pudim de chocolate. Foram convidadas 12 pessoas.


- Na sexta-feira fomos avisados que viriam 30 convidados. Fazer uma lista dos ingredientes necessários para fazer sobremesa para todos. Quantos pudins seriam necessários? Haveria repetição para alguns convidados? Quantos?

- Comparar as quantidades de cada ingrediente da receita dada com a lista das compras. O que pode ser observado? Há alguma relação entre estes valores? Ela pode ser escrita em forma de fração?

- Caso não tenhamos sido avisados, o que fazer se vierem 18 convidados e quisermos servir sobremesa para todos, tendo apenas um pudim? Que fração do pudim representaria cada pedaço. Compará-la com a fração prevista inicialmente.

- Calcular a quantidade de cada ingrediente para fazer um pudim maior que servisse 18 pessoas com porções idênticas à receita original.
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Autora: Lúcia Amada Castiel Lima
Abril/2007